川田研 - SeDuMi / YALMIP

SeDuMi / YALMIP

SeDuMi とは？

　SeDuMi (Self-Dual-Minimisation Package) は Jos F. Sturm により開発されたフリーウェアの SDP ソルバ (LMI ソルバ) であり，MATLAB で利用可能です．本書では

第 II 部 (発展編) / 第 1 章 LMI と制御
第 II 部 (発展編) / 第 2 章ディジタル制御 / 2.3 節量子化入力制御

で利用します．ちなみに，「せでゅみ」と発音します．SeDuMi についての詳細は文献

Jos F. Sturm: Using SeDuMi 1.02, a MATLAB Toolbox for Optimization over Symmetric Cones, Optimization Methods and Software, Vol. 11-12, No. 1, pp. 625-653 (1999)

やユーザーズガイド

SeDuMi 1.1 user's guide

SeDuMi 1.05 R5 user's guide

を参照してください．最新バージョンは

https://github.com/sqlp/sedumi/releases/

から sedumi.zip をダウンロードしてください．また，開発者（Jos F. Sturm 氏）のホームページ

　　https://sedumi.ie.lehigh.edu/

から SeDuMi_1_3.zip をダウンロードすることもできます．

　本書では SeDuMi を利用していますが，MATLAB 標準の SDP ソルバである LMILAB を使用することも可能です．LMILAB は Robust Control Toolbox に含まれています．両者の比較は以下のとおりです．

● 　SeDuMi　

利点

実行速度が速い

無償である (Robust Control Toolbox は不要 …… 購入しなくて良い)

欠点

信頼性がやや低い

● 　LMILAB　

利点

信頼性が高い

欠点

実行速度がやや遅い

Robust Control Toolbox を購入する必要がある

その他の SDP ソルバとしては，SDPT3 や SDPA というのもあります．

YALMIP とは？

　YALMIP (Yet Another LMI Parser) は Johan Lofberg により開発されたフリーウェアの LMI パーサであり，本書では

第 II 部 (発展編) / 第 1 章 LMI と制御

で利用します．ちなみに，「やるみっぷ」と発音します．パーサ (parser) という言葉は聞き慣れないかもしれませんが，要は，MATLAB での LMI の記述を簡単にしてくれるプログラムのことです．YALMIP を使わないと，MATLAB での LMI の記述がかなり大変な作業となってしまいます！

　YALMIP に関する情報は開発者 (Johan Lofberg) の Web ページ

https://yalmip.github.io/

もしくは文献

Johan Lofberg: YALMIP: A Toolbox for Modeling and Optimization in MATLAB, IEEE International Symposium on Computer Aided Control Systems Design, pp. 284-289 (2004)

を参照してください．最新バージョンは

https://github.com/yalmip/YALMIP/archive/master.zip

からダウンロードできます．

SeDuMi / YALMIP のインストール

　「配布ファイルを使用するための準備」にインストール手順が記述されています．また，本ホームページの「SDP ソルバと LMI パーサのインストール」にも記述されています．

SeDuMi / YALMIP の使用例

　YALMIP を利用した LMI 求解の詳細は

が参考になります．

　大雑把に説明すると，YALMIP を利用した LMI 求解のステップは以下のようになります．

　安定性を上述の (b) 式により判別する例は

sample1_yalmip.m　…… 安定
sample2_yalmip.m　…… 不安定

を参照してください．

　sample1_yalmip.m の実行結果　

>> sample1_yalmip

A =

0 1

-10 -2

SeDuMi 1.3.5 by AdvOL, 2005-2008 and Jos F. Sturm, 1998-2003.

Alg = 2: xz-corrector, theta = 0.250, beta = 0.500

eqs m = 3, order n = 5, dim = 9, blocks = 3

nnz(A) = 9 + 0, nnz(ADA) = 9, nnz(L) = 6

it : b*y gap delta rate t/tP* t/tD* feas cg cg prec

0 : 1.52E+02 0.000

1 : 0.00E+00 3.58E+01 0.000 0.2354 0.9000 0.9000 0.16 1 1 2.0E+01

2 : 0.00E+00 8.34E+00 0.000 0.2329 0.9000 0.9000 0.02 1 1 7.2E+00

3 : 0.00E+00 3.92E-02 0.000 0.0047 0.9990 0.9990 0.79 1 1 3.7E-02

4 : 0.00E+00 2.36E-03 0.000 0.0602 0.9900 0.9900 1.00 1 1 2.2E-03

5 : 0.00E+00 1.41E-04 0.000 0.0600 0.9900 0.9900 1.00 1 1 1.3E-04

6 : 0.00E+00 8.46E-06 0.000 0.0598 0.9900 0.9900 1.00 1 1 8.0E-06

7 : 0.00E+00 5.05E-07 0.000 0.0596 0.9900 0.9900 1.00 1 1 4.8E-07

8 : 0.00E+00 3.00E-08 0.000 0.0594 0.9900 0.9900 1.00 1 1 2.8E-08

9 : 0.00E+00 1.78E-09 0.000 0.0592 0.9900 0.9900 1.00 1 1 1.7E-09

10 : 0.00E+00 1.05E-10 0.000 0.0591 0.9900 0.9900 1.00 1 1 1.0E-10

iter seconds digits c*x b*y

10 0.0 Inf -6.9680378335e-12 0.0000000000e+00

|Ax-b| = 4.8e-11, [Ay-c]_+ = 0.0E+00, |x|= 6.0e-12, |y|= 2.0e+01

Detailed timing (sec)

Pre IPM Post

6.400E-02 1.500E-02 1.100E-02

Max-norms: ||b||=0, ||c|| = 1.000001e+00,

Cholesky |add|=0, |skip| = 0, ||L.L|| = 7.75404.

sol =

フィールドをもつ struct:

yalmipversion: '20210331'

matlabversion: '9.14.0.2206163 (R2023a)'

yalmiptime: 0.5112

solvertime: 0.0948

info: 'Successfully solved (SeDuMi-1.3)'

problem: 0

eigen_A =

-1.0000 + 3.0000i

-1.0000 - 3.0000i

P_feas =

19.6857 0.3742

0.3742 2.1125

-----------------------------------------------

M1 の固有値：M1 > 0 なら M1 の固有値はすべて正

-----------------------------------------------

ans =

1.1045

18.6937

-----------------------------------------------

-M2 の固有値：M2 < 0 なら -M2 の固有値はすべて正

-----------------------------------------------

ans =

5.4027

9.783

　sample2_yalmip.m の実行結果　

>> sample2_yalmip

A =

0 1

10 -2

SeDuMi 1.3.5 by AdvOL, 2005-2008 and Jos F. Sturm, 1998-2003.

Alg = 2: xz-corrector, theta = 0.250, beta = 0.500

eqs m = 3, order n = 5, dim = 9, blocks = 3

nnz(A) = 9 + 0, nnz(ADA) = 9, nnz(L) = 6

it : b*y gap delta rate t/tP* t/tD* feas cg cg prec

0 : 4.42E+02 0.000

1 : 0.00E+00 8.05E+01 0.000 0.1822 0.9000 0.9000 1.00 1 1 8.4E+00

2 : 0.00E+00 1.73E+01 0.000 0.2143 0.9000 0.9000 1.00 1 1 1.8E+00

3 : 0.00E+00 6.57E-01 0.000 0.0381 0.9900 0.9900 1.00 1 1 6.8E-02

4 : 0.00E+00 3.54E-02 0.181 0.0539 0.9900 0.9900 1.00 1 1 3.7E-03

5 : 0.00E+00 8.83E-03 0.322 0.2490 0.9000 0.9000 0.96 1 1 9.5E-04

6 : 0.00E+00 2.25E-03 0.000 0.2544 0.9000 0.9000 0.84 1 1 2.7E-04

7 : 0.00E+00 5.06E-04 0.000 0.2252 0.9000 0.9000 0.41 1 1 1.1E-04

8 : 0.00E+00 3.85E-05 0.000 0.0761 0.9900 0.9900 -0.53 1 2 8.8E-05

9 : 0.00E+00 2.22E-06 0.000 0.0576 0.9900 0.9900 -0.99 3 3 9.7E-05

10 : 0.00E+00 5.42E-07 0.000 0.2443 0.9000 0.9000 -1.13 4 4 1.1E-04

11 : 0.00E+00 1.44E-07 0.000 0.2653 0.9000 0.9000 -1.17 5 4 1.2E-04

12 : 0.00E+00 3.82E-08 0.000 0.2657 0.9000 0.9000 -1.16 5 5 1.3E-04

13 : 0.00E+00 9.48E-09 0.000 0.2481 0.9000 0.9000 -1.13 5 5 1.4E-04

14 : 0.00E+00 2.13E-09 0.000 0.2247 0.9000 0.9000 -1.10 5 5 1.5E-04

Run into numerical problems.

iter seconds digits c*x b*y

14 0.1 Inf -2.5643445269e+00 0.0000000000e+00

|Ax-b| = 7.6e-05, [Ay-c]_+ = 2.0E-06, |x|= 2.2e+06, |y|= 7.0e+04

Detailed timing (sec)

Pre IPM Post

2.997E-03 1.500E-01 2.002E-03

Max-norms: ||b||=0, ||c|| = 1.000000e-06,

Cholesky |add|=0, |skip| = 1, ||L.L|| = 5.36675.

sol =

フィールドをもつ struct:

yalmipversion: '20210331'

matlabversion: '9.14.0.2206163 (R2023a)'

yalmiptime: 0.0990

solvertime: 0.1560

info: 'Infeasible problem (SeDuMi-1.3)'

problem: 1

eigen_A =

2.3166

-4.3166